本节内容中可能用到的符号说明如下：
质数和合数： 质数是指除了平凡约数1和自身之外，没有其他约数的大于1的正整数。大于1的正整数中不是素数的则为合数。如 7、11 是质数，而 4、9 是合数。在 RSA 算法中主要用到了质数相关性质，质数可能是上帝留给人类的一把钥匙，许多数学定理和猜想都跟质数有关。
[定理1] 除法定理： 对任意整数 a 和 任意正整数 n，存在唯一的整数 q 和 r，满足 。其中， 称为除法的商，而 称为除法的余数。
整除： 在除法定理中，当余数 时，表示 a 能被 n 整除，或者说 a 是 n 的倍数，用符号 表示。
约数和倍数 ： 对于整数 d 和 a，如果 ，且 ，则我们说 d 是 a 的约数，a 是 d 的倍数。
公约数： 对于整数 d，a，b，如果 d 是 a 的约数且 d 也是 b 的约数，则 d 是 a 和 b 的公约数。如 30 的约数有 1，2，3，5，6，10，15，30，而 24 的约数有 1，2，3，4，6，8，12，24，则 30 和 24 的公约数有 1，2，3，6。其中 1 是任意两个整数的公约数。
公约数的性质：
最大公约数： 两个整数最大的公约数称为最大公约数，用 来表示，如 30 和 24 的最大公约数是 6。 有一些显而易见的性质：
[定理2] 最大公约数定理： 如果 a 和 b 是不为0的整数，则 是 a 和 b 的线性组合集合 中的最小正元素。
由定理2可以得到一个推论：
[推论1] 对任意整数 a 和 b，如果 且 ，则 。
互质数： 如果两个整数 a 和 b 只有公因数 1，即 ，则我们就称这两个数是互质数(coprime）。比如 4 和 9 是互质数，但是 15 和 25 不是互质数。
互质数的性质：
欧几里得算法分为朴素欧几里得算法和扩展欧几里得算法，朴素法用于求两个数的最大公约数，而扩展的欧几里得算法则有更多广泛应用，如后面要提到的求一个数对特定模数的模逆元素等。
求两个非负整数的最大公约数最有名的是 辗转相除法，最早出现在伟大的数学家欧几里得在他的经典巨作《几何原本》中。辗转相除法算法求两个非负整数的最大公约数描述如下：
例如， ，在求解过程中，较大的数缩小，持续进行同样的计算可以不断缩小这两个数直至其中一个变成零。
欧几里得算法的python实现如下：
扩展欧几里得算法在 RSA 算法中求模反元素有很重要的应用，定义如下：
定义： 对于不全为 0 的非负整数 ，则必然存在整数对 ，使得
例如，a 为 3，b 为 8，则 。那么，必然存在整数对 ，满足 。简单计算可以得到 满足要求。
扩展欧几里得算法的python实现如下：
同余： 对于正整数 n 和 整数 a，b，如果满足 ，即 a-b 是 n 的倍数，则我们称 a 和 b 对模 n 同余，记号如下： 例如，因为 ，于是有 。
对于正整数 n，整数 ，如果 则我们可以得到如下性质：
譬如，因为 ，则可以推出 。
另外，若 p 和 q 互质，且 ，则可推出：
此外，模的四则运算还有如下一些性质，证明也比较简单，略去。
模逆元素： 对整数 a 和正整数 n，a 对模数 n 的模逆元素是指满足以下条件的整数 b。 a 对 模数 n 的 模逆元素不一定存在，a 对 模数 n 的模逆元素存在的充分必要条件是 a 和 n 互质，这个在后面我们会有证明。若模逆元素存在，也不是唯一的。例如 a=3，n=4，则 a 对模数 n 的模逆元素为 7 + 4k，即 7，11，15，...都是整数 3 对模数 4 的模逆元素。如果 a 和 n 不互质，如 a = 2，n = 4，则不存在模逆元素。
[推论2] 模逆元素存在的充分必要条件是整数 a 和 模数 n 互质。
[定理3] 唯一质数分解定理： 任何一个大于1的正整数 n 都可以 唯一分解 为一组质数的乘积，其中 都是自然数(包括0)。比如 6000 可以唯一分解为 。
由质数唯一分解定理可以得到一个推论： 质数有无穷多个 。
[定理4] 中国剩余定理(Chinese remainder theorem，CRT) ，最早见于《孙子算经》(中国南北朝数学著作，公元420-589年)，叫物不知数问题，也叫韩信点兵问题。
翻译过来就是已知一个一元线性同余方程组求 x 的解：
宋朝著名数学家秦九韶在他的著作中给出了物不知数问题的解法，明朝的数学家程大位甚至编了一个《孙子歌诀》：
意思就是：将除以 3 的余数 2 乘以 70，将除以 5 的余数 3 乘以 21，将除以 7 的余数 2 乘以 15，最终将这三个数相加得到 。再将 233 除以 3，5，7 的最小公倍数 105 得到的余数 ，即为符合要求的最小正整数，实际上， 都符合要求。
物不知数问题解法本质
求解通项公式
中国剩余定理相当于给出了以下的一元线性同余方程组的有解的判定条件，并用构造法给出了解的具体形式。
模数 两两互质 ，则对任意的整数： ，方程组 有解，且解可以由如下构造方法得到：
并设 是除 以外的其他 个模数的乘积。
中国剩余定理通项公式证明
RSA算法是最常用的非对称加密算法，它既能用于加密，也能用于数字签名。RSA的安全基于大数分解的难度。其公钥和私钥是一对大素数（100到200位十进制数或更大）的函数。从一个公钥和密文恢复出明文的难度，等价于分解两个大素数之积。
我们可以通过一个简单的例子来理解RSA的工作原理。为了便于计算。在以下实例中只选取小数值的素数p,q,以及e，假设用户A需要将明文“key”通过RSA加密后传递给用户B，过程如下：设计公私密钥(e,n)和(d,n)。
令p=3，q=11，得出n=p×q=3×11=33；f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20；取e=3，（3与20互质）则e×d≡1 mod f(n)，即3×d≡1 mod 20。通过试算我们找到，当d=7时，e×d≡1 mod f(n)同余等式成立。因此，可令d=7。从而我们可以设计出一对公私密钥，加密密钥（公钥）为：KU =(e,n)=(3,33)，解密密钥（私钥）为：KR =(d,n)=(7,33)。
英文数字化。将明文信息数字化，并将每块两个数字分组。假定明文英文字母编码表为按字母顺序排列数值。则得到分组后的key的明文信息为：11，05，25。
明文加密。用户加密密钥(3,33) 将数字化明文分组信息加密成密文。由C≡Me(mod n)得：
C1(密文)≡M1（明文）^e (mod n) == 11≡11^3 mod 33 ;
C2(密文)≡M2（明文）^e (mod n) == 26≡05^3 mod 33;
C3(密文)≡M3（明文）^e (mod n) == 16≡25^3 mod 33;
所以密文为11.26.16。
密文解密。用户B收到密文，若将其解密，只需要计算，即：
M1(明文)≡C1（密文）^d (mod n) == 11≡11^7 mod 33;
M2(明文)≡C2（密文）^d (mod n) == 05≡26^7 mod 33;
M3(明文)≡C3（密文）^d (mod n) == 25≡16^7 mod 33;
转成明文11.05.25。根据上面的编码表将其转换为英文，我们又得到了恢复后的原文“key”。
当然，实际运用要比这复杂得多，由于RSA算法的公钥私钥的长度（模长度）要到1024位甚至2048位才能保证安全，因此，p、q、e的选取、公钥私钥的生成，加密解密模指数运算都有一定的计算程序，需要仰仗计算机高速完成。
如果需要理解RSA的加密原理，需要理解以下理论：
等同于求一元二次方程 23 * d + 192 * y = 1
可以求得其中一解为（d=167，y=-20）
至此就完成了所有的计算
对于上述例子的到公钥（221，23）和私钥（221，167）
在上述的计算过程中一共用到了
上面用到的数中只有公钥部分是公开的，即（221，23）。那么我们是否可以通过公钥来推到出私钥部分，即已知n和e，推到出d？
（1）ed 1(mod (n))，只有知道 (n)才能解出d
（2） (n)= (p) (q)= (p-1) (q-1)，只有知道p和q才能得到 (n)
（3）n=p q，就需要对n进行因式分解
那么如果可以对n因式分解就可以求出d，也就意味着私匙被破解
那么RSA加密的可靠性就在于对n因式分解的难度，而现在对一个整数n做因式分解并没有巧妙的算法，只有通过暴力破解计算。在实际应用中的n取值通常在1024位以上，而公开已知的可因式分解的最大数为768位。所以现阶段来说RSA加密是可靠的。
现在我们就可以进行加密和解密了
我们使用上面生成的公钥（221，23）来加密。如果我们需要加密的信息是m（ m必须为整数并且m要小于n ），m取56，可以用以下公式求出加密串c：
c (mod n)
10 (mod 221)
可以求出加密后的结果c为10
密钥为（221，167），加密结果c=10，可以使用以下公式求出被加密的信息
m (mod n) 即加密结果的d次方除以n的余数为m
56 (mod 221)
RSA加密属于块加密算法，总是在一个固定长度的块上进行操作。如果被加密的字符串过长，则需要对字符串进行切割，如果字符串过短则需要进行填充。
以下主介绍一下RSA_PKCS1_PADDING填充模式以及RSA_NO_PADDING模式
此填充模式是最常用的填充模式，在此填充模式下输入的长度受加密钥的长度限制，输入的最大长度为加密钥的位数k-11。如果公钥的长度为1024位即128字节，那么输入的长度最多为128-11=117字节。如果长度小于117就需要填充。如果输入T的长度为55字节，填充后的块为EM，则EM格式如下：
EM= 0x00 || BT || PS || 0x00 || T
在此填充模式下，输入的长度最多和RSA公钥长度一样长，如果小于公钥长度则会在前面填充0x00。如果公钥长度是128字节，输入T的长度为55字节，填充后的块为EM，则EM格式如下：
EM=P || T
参考：
RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。
1973年，在英国政府通讯总部工作的数学家克利福德·柯克斯（Clifford Cocks）在一个内部文件中提出了一个相同的算法，但他的发现被列入机密，一直到1997年才被发表。
扩展资料
RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。
假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。 RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n必须选大一些，因具体适用情况而定。
参考资料来源：百度百科-rsa
RSA密码体制抗破解的原理是：利用Euclid 算法计算解密密钥d, 满足de≡1(mod φ(n))。其中n和d也要互质。数e和n是公钥，d是私钥。两个素数p和q不再需要，应该丢弃，不要让任何人知道。
现在常规的密码破解方式有两种，分别是暴力破解和字典破解。通常的破解软件你还可以设置字符集（比如选择是否算上符号，大小写字母和数字等）。用这种方式只要密码不超过能破译的长度范围，在一定时间下是一定能破解出来的，唯一缺点就是速度太慢。
为提高保密强度
RSA密钥至少为500位长，一般推荐使用1024位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式，即信息采用改进的DES或IDEA对话密钥加密，然后使用RSA密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后，用不同的密钥解密并可核对信息摘要。
随着社会的发展，产品的更新速度也是越来越快，算法是方案的核心，保护开发者和消费者的权益刻不容缓，那么加密芯片在其中就扮演了重要的角色，如何选择加密芯片呢？
1.市面上加密芯片种类繁多,算法多种,加密芯片强度参差不齐,加密性能与算法、秘钥密切相关。常见的加密算法有对称算法,非对称算法,国密算法,大部分都是基于I2C、SPI或1-wire协议进行通信。加密芯片还是需要项目实际需求选择,比如对称加密算法的特点是计算量小、加密速度快、加密效率高等。
2.因为单片机软加密性能较弱且非常容易被复制,所以有了加密芯片的产生,大大增加了破解难度和生产成本。目前加密芯片广泛应用于车载电子、消费电子、美容医疗、工业控制、AI智能等行业。
3.韩国KEROS加密芯片专注加密领域十多年,高安全性、低成本,在加密保护领域受到了众多客户的高度赞扬及认可。KEROS采用先进的内置aes256安全引擎和加密功能,通过真动态数据交互并为系统中敏感信息的存储提供了安全的场所,有了它的保护电路,即使受到攻击,这些信息也可以保持安全。其封装SOP8,SOT23-6,TDFN-6集成I2C与1-wire协议满足不同应用需求。CK02AT、CK22AT、CK02AP、CK22AP支持1.8V-3.6V,256bit位秘钥长度,5bytes SN序列号,支持定制化免烧录,加密行业首选。关于rsa加密原理图解的介绍到此就结束了，感谢大家耐心阅读。
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