很高兴和大家一起分享ecc加密算法入门介绍的知识，希望对各位有所帮助。
RSA(Rivest-Shamir-Adleman)加密算法：它是第 一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。比较易于理解和操作，是高强度非对称加密系统，密钥长度少则512位，多则2048位，非常难破解，安全系数是非常高的。ECC(Elliptic Curve Cryptosystems )加密算法：椭圆曲线密码体制，它同样也是在数据位上额外的位存储一个用数据加密的代码。椭圆曲线其实可能比RSA更复杂，但其安全性比较高，离散对数问题对于计算机而言几乎不可解。所以其位数不用太高，速度反而快些。如果想买该类型的证书，推荐国内的老品牌CA机构-天威诚信，旗下的vTrus SSL证书，该证书支持 SHA256 with RSA 2048 算法/ECC 256 算法。
与 RSA（Ron Rivest，Adi Shamir，Len Adleman 三位天才的名字）一样，ECC（Elliptic Curves Cryptography，椭圆曲线加密）也属于公开密钥算法。
一、从平行线谈起
平行线，永不相交。没有人怀疑把：）不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交了？事实上没有人见到过。所以“平行线，永不相交”只是假设（大家想想初中学习的平行公理，是没有证明的）。
既然可以假设平行线永不相交，也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞（请大家闭上眼睛，想象一下那个无穷远点P∞，P∞是不是很虚幻，其实与其说数学锻炼人的抽象能力，还不如说是锻炼人的想象力）。
给个图帮助理解一下：
直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都相交了，且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。
以下是无穷远点的几个性质。
直线 L 上的无穷远点只能有一个。（从定义可直接得出）
平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。（从定义可直接得出）
平面上任何相交的两直线 L1、L2 有不同的无穷远点。（否则 L1 和 L2 有公共的无穷远点 P ，则 L1 和 L2 有两个交点 A、P，故假设错误。）
平面上全体无穷远点构成一条无穷远直线。（自己想象一下这条直线吧）
平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。
二、射影平面坐标系
射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系（就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系）的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点设计坐标，不能表示无穷远点。为了表示无穷远点，产生了射影平面坐标系，当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点（数学也是“向下兼容”的）。
我们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标（x, y）做如下改造：
令 x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；则 A 点可以表示为（X:Y:Z）。
变成了有三个参量的坐标点，这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。
例 2.1：求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标。
解：
∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）
∴X=Z，Y=2Z
∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠0。
即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0 的坐标，都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标。
我们也可以得到直线的方程 aX+bY+cZ=0（想想为什么？提示：普通平面直角坐标系下直线一般方程是 ax+by+c=0）。
新的坐标体系能够表示无穷远点么？那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识，我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么，如何求两条直线的交点坐标？这是初中的知识，就是将两条直线对应的方程联立求解。
平行直线的方程是：
aX+bY+c1Z =0；
aX+bY+c2Z =0 (c1≠c2)； （为什么？提示：可以从斜率考虑，因为平行线斜率相同）；
将二方程联立，求解。有
c2Z= c1Z= -（aX+bY）
∵c1≠c2
∴Z=0
∴aX+bY=0
所以无穷远点就是这种形式（X：Y：0）表示。注意，平常点 Z≠0，无穷远点 Z=0，因此无穷远直线对应的方程是 Z=0。
例 2.2：求平行线 L1：X+2Y+3Z=0 与 L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。
解：
因为 L1∥L2
所以有 Z=0， X+2Y=0
所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。
即（-2:1:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0 的坐标，都表示这个无穷远点。
看来这个新的坐标体系能够表示射影平面上所有的点，我们就把这个能够表示射影平面上所有点的坐标体系叫做射影平面坐标系。
练习：
1、求点A(2,4) 在射影平面坐标系下的坐标。
2、求射影平面坐标系下点(4.5:3:0.5)，在普通平面直角坐标系下的坐标。
3、求直线X+Y+Z=0上无穷远点的坐标。
4、判断：直线aX+bY+cZ=0上的无穷远点 和 无穷远直线与直线aX+bY=0的交点，是否是同一个点？
三、椭圆曲线
上一节，我们建立了射影平面坐标系，这一节我们将在这个坐标系下建立椭圆曲线方程。因为我们知道，坐标中的曲线是可以用方程来表示的（比如：单位圆方程是 x2+y2=1）。椭圆曲线是曲线，自然椭圆曲线也有方程。
椭圆曲线的定义：
一条椭圆曲线是在射影平面上满足如下方程的所有点的集合，且曲线上的每个点都是非奇异（或光滑）的。
Y2Z+a1XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 [3-1]
定义详解：
Y2Z+a1XYZ+a3YZ2 = X3+a2X2Z+a4XZ2+a6Z3 是 Weierstrass 方程（维尔斯特拉斯，Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897），是一个齐次方程。
椭圆曲线的形状，并不是椭圆的。只是因为椭圆曲线的描述方程，类似于计算一个椭圆周长的方程（计算椭圆周长的方程，我没有见过，而对椭圆线 积分 （设密度为1）是求不出来的），故得名。
我们来看看椭圆曲线是什么样的。
所谓“非奇异”或“光滑”的，在数学中是指曲线上任意一点的偏导数 Fx(x,y,z)，Fy(x,y,z)，Fz(x,y,z) 不能同时为0。如果你没有学过高等数学，可以这样理解这个词，即满足方程的任意一点都存在切线。下面两个方程都不是椭圆曲线，尽管他们是方程 [3-1] 的形式，因为他们在（0:0:1）点处（即原点）没有切线。
椭圆曲线上有一个无穷远点O∞（0:1:0），因为这个点满足方程[3-1]。
知道了椭圆曲线上的无穷远点。我们就可以把椭圆曲线放到普通平面直角坐标系上了。因为普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。我们在普通平面直角坐标系上，求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程，再加上无穷远点O∞（0:1:0），不就构成椭圆曲线了么？
我们设 x=X/Z，y=Y/Z 代入方程 [3-1] 得到：
y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 [3-2]
也就是说满足方程 [3-2] 的光滑曲线加上一个无穷远点O∞，组成了椭圆曲线。为了方便运算，表述，以及理解，今后论述椭圆曲线将主要使用 [3-2] 的形式。
本节的最后，我们谈一下求椭圆曲线一点的切线斜率问题。由椭圆曲线的定义可以知道，椭圆曲线是光滑的，所以椭圆曲线上的平常点都有切线。而切线最重要的一个参数就是斜率 k 。
例 3.1：求椭圆曲线方程 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6上，平常点 A(x,y) 的切线的斜率 k 。
解：
令
F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6
求偏导数
Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4
Fy(x,y)= 2y+a1x+a3
则导数为：
f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3) = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)
所以
k=(3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3) [3-3]
看不懂解题过程没有关系，记住结论[3-3]就可以了。
练习：
1、将给出图例的椭圆曲线方程Y2Z=X3-XZ2 和Y2Z=X3+XZ2+Z3转换成普通平面直角坐标系上的方程。
四、椭圆曲线上的加法
上一节，我们已经看到了椭圆曲线的图象，但点与点之间好象没有什么联系。我们能不能建立一个类似于在实数轴上加法的运算法则呢？天才的数学家找到了这一运算法则
自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念，使得代数运算达到了高度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要特征，提出了加群（也叫交换群，或 Abel（阿贝尔）群），在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法没有什么区别。这也许就是数学抽象把。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。
运算法则：任意取椭圆曲线上两点 P、Q （若 P、Q两点重合，则做 P 点的切线）做直线交于椭圆曲线的另一点 R’，过 R’ 做 y 轴的平行线交于 R。我们规定 P+Q=R。（如图）
法则详解：
这里的 + 不是实数中普通的加法，而是从普通加法中抽象出来的加法，他具备普通加法的一些性质，但具体的运算法则显然与普通加法不同。
根据这个法则，可以知道椭圆曲线无穷远点 O∞ 与椭圆曲线上一点 P 的连线交于 P’，过 P’ 作 y 轴的平行线交于 P，所以有 无穷远点 O∞ + P = P 。这样，无穷远点 O∞ 的作用与普通加法中零的作用相当（0+2=2），我们把无穷远点 O∞ 称为零元。同时我们把 P’ 称为 P 的负元（简称，负P；记作，-P）。（参见下图）
根据这个法则，可以得到如下结论 ：如果椭圆曲线上的三个点 A、B、C，处于同一条直线上，那么他们的和等于零元，即 A+B+C= O∞
k 个相同的点 P 相加，我们记作 kP。如下图：P+P+P = 2P+P = 3P。
下面，我们利用 P、Q点的坐标 (x1,y1)，(x2,y2)，求出 R=P+Q 的坐标 (x4,y4)。
例 4.1：求椭圆曲线方程 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 上，平常点 P(x1,y1)，Q(x2,y2) 的和 R(x4,y4) 的坐标。
解：
（1）先求点 -R(x3,y3)
因为 P, Q, -R 三点共线，故设共线方程为
y=kx+b
其中，若 P≠Q (P,Q两点不重合)，则直线斜率
k=(y1-y2)/(x1-x2)
若 P=Q (P,Q两点重合)，则直线为椭圆曲线的切线，
故由例 3.1 可知：
k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)
因此 P, Q, -R 三点的坐标值就是以下方程组的解：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 [1]
y=(kx+b) [2]
将 [2] 代入[1] 有
(kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6 [3]
对 [3] 化为一般方程，根据三次方程根与系数关系（若方程x³＋ax²＋bx＋c=0 的三个根是 x1、x2、x3，则： x1＋x2＋x3=－a，x1x2＋x2x3＋x3x1=b，x1x2x2=－c）
所以
-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2
x3=k2+ka1+a2+x1+x2 --------------------- 求出点 -R 的横坐标
因为
k=(y1-y3)/(x1-x3)
故
y3=y1-k(x1-x3) ------------------------------ 求出点 -R 的纵坐标
（2）利用 -R 求 R
显然有
x4=x3=k2+ka1+a2+x1+x2 -------------- 求出点 R 的横坐标
而 y3 y4 为 x=x4 时 方程 y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 的解化为一般方程 y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系（如果方程 ax²＋bx＋c=0 的两根为 x1、x2，那么 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a）
得：
-(a1x+a3)=y3+y4
故
y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3) ----- 求出点 R 的纵坐标
即：
x4=k2+ka1+a2+x1+x2
y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3
本节的最后，提醒大家注意一点，以前提供的图像可能会给大家产生一种错觉，即椭圆曲线是关于 x 轴对称的。事实上，椭圆曲线并不一定关于 x 轴对称。如下图的 y2-xy=x3+1
五、密码学中的椭圆曲线
我们现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识，这是值得高兴的。但请大家注意，前面学到的椭圆曲线是连续的，并不适合用于加密。所以，我们必须把椭圆曲线变成离散的点。
让我们想一想，为什么椭圆曲线为什么连续？是因为椭圆曲线上点的坐标，是实数的（也就是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的），实数是连续的，导致了曲线的连续。因此，我们要把椭圆曲线定义在有限域上（顾名思义，有限域是一种只有由有限个元素组成的域）。
域的概念是从我们的有理数，实数的运算中抽象出来的，严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说，域中的元素同有理数一样，有自己得加法、乘法、除法、单位元(1)，零元(0),并满足交换率、分配率。
下面，我们给出一个有限域 Fp，这个域只有有限个元素。
Fp 中只有 p（p为素数）个元素 0, 1, 2 …… p-2, p-1
Fp 的加法（a+b）法则是 a+b≡c (mod p) ，即 (a+c)÷p 的余数和 c÷p 的余数相同。
Fp 的乘法（a×b）法则是 a×b≡c (mod p)
Fp 的除法（a÷b）法则是 a/b≡c (mod p)，即 a×b-1≡c (mod p) ，b-1 也是一个 0 到 p-1 之间的整数，但满足 b×b-1≡1 (mod p)；具体求法可以参考初等数论。
Fp 的单位元是 1，零元是 0。
同时，并不是所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类可以用来加密的椭圆曲线，也是最为简单的一类。下面我们就把 y2=x3+ax+b 这条曲线定义在 Fp 上：
选择两个满足下列条件的小于 p ( p 为素数) 的非负整数 a、b
4a3+27b2≠0 (mod p)
则满足下列方程的所有点 (x,y)，再加上 无穷远点 O∞ ，构成一条椭圆曲线。
y2=x3+ax+b (mod p)
其中 x,y 属于 0 到 p-1 间的整数，并将这条椭圆曲线记为 Ep(a,b)。
我们看一下 y2=x3+x+1 (mod 23) 的图像
是不是觉得不可思议？椭圆曲线，怎么变成了这般模样，成了一个一个离散的点？椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子，但其本质仍是一条椭圆曲线。举一个不太恰当的例子，好比是水，在常温下，是液体；到了零下，水就变成冰，成了固体；而温度上升到一百度，水又变成了水蒸气。但其本质仍是 H2O。
Fp上的椭圆曲线同样有加法，但已经不能给以几何意义的解释。不过，加法法则和实数域上的差不多，请读者自行对比。
1. 无穷远点 O∞ 是零元，有 O∞ + O∞ = O∞，O∞ + P = P
2. P(x,y) 的负元是 (x,-y)，有 P + (-P) = O∞
3. P(x1,y1), Q(x2,y2) 的和 R(x3,y3) 有如下关系：
x3≡k2-x1-x2(mod p)
y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)
其中
若 P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1
若 P≠Q 则 k=(y2-y1)/(x2-x1)
例 5.1：已知 E23(1,1) 上两点 P(3,10)，Q(9,7)，求 (1)-P，(2)P+Q，(3) 2P。
解：
(1) –P的值为(3,-10)
(2) k=(7-10)/(9-3)=-1/2
2 的乘法逆元为 12， 因为 2*12≡1 (mod 23)
k≡-1*12 (mod 23)
故 k=11
x=112-3-9=109≡17 (mod 23)
y=11[3-(-6)]-10=89≡20 (mod 23)
故 P+Q 的坐标为 (17,20)
3) k=[3(32)+1]/(2*10)=1/4≡6 (mod 23)
x=62-3-3=30≡20 (mod 23)
y=6(3-7)-10=-34≡12 (mod 23)
故 2P 的坐标为 (7,12)
最后，我们讲一下椭圆曲线上的点的阶。如果椭圆曲线上一点 P，存在最小的正整数 n，使得数乘 nP=O∞，则将 n 称为 P 的阶，若 n 不存在，我们说 P 是无限阶的。 事实上，在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶 n 都是存在的（证明，请参考近世代数方面的书）
练习：
1． 求出 E11(1,6) 上所有的点。
2．已知 E11(1,6) 上一点 G(2,7)，求 2G 到 13G 所有的值。
六、椭圆曲线上简单的加密/解密
公开密钥算法总是要基于一个数学上的难题。比如 RSA 依据的是：给定两个素数 p、q 很容易相乘得到 n，而对 n 进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有什么难题呢？
考虑如下等式：
K=kG [其中 K, G为 Ep(a,b) 上的点，k 为小于 n（n 是点 G 的阶）的整数]
不难发现，给定 k 和 G，根据加法法则，计算 K 很容易；但给定 K 和 G，求 k 就相对困难了。这就是椭圆曲线加密算法采用的难题。我们把点 G 称为基点（base point），k（key point）就是私有密钥。
现在我们描述一个利用椭圆曲线进行加密通信的过程：
1、用户 A 选定一条椭圆曲线 Ep(a,b)，并取椭圆曲线上一点，作为基点 G。
2、用户 A 选择一个私有密钥 k，并生成公开密钥 K=kG。
3、用户 A 将 Ep(a,b) 和点 K，G 传给用户 B。
4、用户 B 接到信息后，将待传输的明文编码到 Ep(a,b) 上一点 M（编码方法很多，这里不作讨论），并产生一个随机整数 r（random）。
5、用户 B 计算点 C1=M+rK；C2=rG。
6、用户 B 将 C1、C2 传给用户A。
7、用户 A 接到信息后，计算 C1-kC2，结果就是点 M。因为 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M ，再对点 M 进行解码就可以得到明文。
在这个加密通信中，如果有一个偷窥者 H ，他只能看到 Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过 K、G 求 k 或通过 C2、G 求 r 都是相对困难的。因此，H 无法得到 A、B 间传送的明文信息。
密码学中，描述一条 Fp 上的椭圆曲线，常用到六个参量：
T=(p,a,b,G,n,h)
p 、a 、b 用来确定一条椭圆曲线，G 为基点，n 为点 G 的阶，h 是椭圆曲线上所有点的个数 m 与 n 相除的整数部分。这几个参量取值的选择，直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几个条件：
1、p 当然越大越安全，但越大，计算速度会变慢，200 位左右可以满足一般安全要求；
2、p≠n×h；
3、pt≠1 (mod n)，1≤t20；
4、4a3+27b2≠0 (mod p)；
5、n 为素数；
6、h≤4。
七、椭圆曲线签名在软件保护的应用
我们知道将公开密钥算法作为软件注册算法的好处是：黑客很难通过跟踪验证算法得到注册机。下面，将简介一种利用 Fp(a,b) 椭圆曲线进行软件注册的方法。
软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）
1、选择一条椭圆曲线 Ep(a,b) 和基点 G；
2、选择私有密钥 k；
3、产生一个随机整数 r ；
4、将用户名和点 R 的坐标值 x,y 作为参数，计算 SHA（Secure Hash Algorithm 安全散列算法，类似于 MD5）值，即 Hash=SHA(username,x,y)；
5、计算 sn≡r - Hash * k (mod n)
6、将 sn 和 Hash 作为用户名 username 的序列号
软件验证过程如下：（软件中存有椭圆曲线 Ep(a,b) 和基点 G 以及公开密钥 K）
1、从用户输入的序列号中，提取 sn 以及 Hash；
2、计算点 R≡sn*G+Hash*K ( mod p )，如果 sn、Hash 正确，其值等于软件作者签名过程中点 R(x,y) 的坐标，
因为 sn≡r-Hash*k （mod n）
所以 sn*G+Hash*K=(r-Hash*k)*G+Hash*K=rG-Hash*kG+Hash*K=rG-Hash*K+Hash*K=rG=R；
3、将用户名和点 R 的坐标值 x,y 作为参数，计算 H=SHA(username,x,y)；
4、如果 H=Hash 则注册成功，如果 H≠Hash ，则注册失败（为什么？提示注意点 R 与 Hash 的关联性）。
简单对比一下两个过程：
作者签名用到了：椭圆曲线 Ep(a,b)，基点 G，私有密钥 k，及随机数 r。
软件验证用到了：椭圆曲线 Ep(a,b)，基点 G，公开密钥 K。
黑客要想制作注册机，只能通过软件中的 Ep(a,b)，点 G，公开密钥 K ，并利用 K=kG 这个关系获得 k 才可以，而求 k 是很困难的。
练习：
下面也是一种常于软件保护的注册算法，请认真阅读，并试回答签名过程与验证过程都用到了那些参数，黑客想制作注册机，应该如何做。
软件作者按如下方法制作注册机（也可称为签名过程）
1、选择一条椭圆曲线 Ep(a,b)，和基点 G；
2、选择私有密钥 k；
3、产生一个随机整数 r；
4、将用户名作为参数，计算 Hash=SHA(username)；
5、计算 x’=x (mod n)
6、计算 sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
7、将 sn 和 x’ 作为用户名 username 的序列号
软件验证过程如下：(软件中存有椭圆曲线 Ep(a,b) 和基点 G 以及公开密钥 K)
1、从用户输入的序列号中，提取 sn 以及 x’；
2、将用户名作为参数，计算 Hash=SHA(username)；
3、计算 R=(Hash*G+x’*K)/sn，如果 sn、Hash 正确，其值等于软件作者签名过程中点 R(x,y)
因为 sn≡(Hash+x’*k)/r (mod n)
所以 (Hash*G+x’*K)/sn=(Hash*G+x’*K)/[(Hash+x’*k)/r]=(Hash*G+x’*K)/[(Hash*G+x’*k*G)/(rG)]=rG*[(Hash*G+x’*K)/(Hash*G+x’*K)]=rG=R (mod p)
4、v≡x (mod n)
5、如果 v=x’ 则注册成功。如果 v≠x’ ，则注册失败。
主要参考文献
张禾瑞，《近世代数基础》，高等 教育 出版社，1978
闵嗣鹤 严士健，《初等数论》，高等教育出版社，1982
段云所，《网络信息安全》第三讲，北大计算机系
Michael Rosing ，chapter5《Implementing Elliptic Curve Cryptography》，Softbound，1998
《SEC 1: Elliptic Curve Cryptography》，Certicom Corp.，2000
《IEEE P1363a / D9》，2001
ECC
ECC是“Error Checking and Correcting”的简写，中文名称是“错误检查和纠正”。ECC是一种能够实现“错误检查和纠正”的技术，ECC内存就是应用了这种技术的内存，一般多应用在服务器及图形工作站上，这将使整个电脑系统在工作时更趋于安全稳定。
要了解ECC技术，就不能不提到Parity（奇偶校验）。在ECC技术出现之前，内存中应用最多的是另外一种技术，就是Parity（奇偶校验）。我们知道，在数字电路中，最小的数据单位就是叫“比特（bit）”，也叫数据“位”，“比特”也是内存中的最小单位，它是通过“1”和“0”来表示数据高、低电平信号的。在数字电路中8个连续的比特是一个字节（byte），在内存中不带“奇偶校验”的内存中的每个字节只有8位，若它的某一位存储出了错误，就会使其中存储的相应数据发生改变而导致应用程序发生错误。而带有“奇偶校验”的内存在每一字节（8位）外又额外增加了一位用来进行错误检测。比如一个字节中存储了某一数值（1、0、1、0、1、0、1、1），把这每一位相加起来（1＋0＋1＋0＋1＋0＋1＋1=5）。若其结果是奇数，对于偶校验，校验位就定义为1，反之则为0；对于奇校验，则相反。当CPU返回读取存储的数据时，它会再次相加前8位中存储的数据，计算结果是否与校验位相一致。当CPU发现二者不同时就作出视图纠正这些错误，但Parity有个缺点，当内存查到某个数据位有错误时，却并不一定能确定在哪一个位，也就不一定能修正错误，所以带有奇偶校验的内存的主要功能仅仅是“发现错误”，并能纠正部分简单的错误。
通过上面的分析我们知道Parity内存是通过在原来数据位的基础上增加一个数据位来检查当前8位数据的正确性，但随着数据位的增加Parity用来检验的数据位也成倍增加，就是说当数据位为16位时它需要增加2位用于检查，当数据位为32位时则需增加4位，依此类推。特别是当数据量非常大时，数据出错的几率也就越大，对于只能纠正简单错误的奇偶检验的方法就显得力不从心了，正是基于这样一种情况，一种新的内存技术应允而生了，这就是ECC（错误检查和纠正），这种技术也是在原来的数据位上外加校验位来实现的。不同的是两者增加的方法不一样，这也就导致了两者的主要功能不太一样。它与Parity不同的是如果数据位是8位，则需要增加5位来进行ECC错误检查和纠正，数据位每增加一倍，ECC只增加一位检验位，也就是说当数据位为16位时ECC位为6位，32位时ECC位为7位，数据位为64位时ECC位为8位，依此类推，数据位每增加一倍，ECC位只增加一位。总之，在内存中ECC能够容许错误，并可以将错误更正，使系统得以持续正常的操作，不致因错误而中断，且ECC具有自动更正的能力，可以将Parity无法检查出来的错误位查出并将错误修正。
2 ECC(Elliptic Curve Cryptosystems )椭圆曲线密码体制
2002年，美国SUN公司将其开发的椭圆加密技术赠送给开放源代码工程
公钥密码体制根据其所依据的难题一般分为三类：大整数分解问题类、离散对数问题类、椭圆曲线类。有时也把椭圆曲线类归为离散对数类。
椭圆曲线密码体制来源于对椭圆曲线的研究，所谓椭圆曲线指的是由韦尔斯特拉斯（Weierstrass）方程：
y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6 (1)
所确定的平面曲线。其中系数ai(I=1,2,…,6)定义在某个域上，可以是有理数域、实数域、复数域，还可以是有限域GF（pr），椭圆曲线密码体制中用到的椭圆曲线都是定义在有限域上的。
椭圆曲线上所有的点外加一个叫做无穷远点的特殊点构成的集合连同一个定义的加法运算构成一个Abel群。在等式
mP=P+P+…+P=Q (2)
中，已知m和点P求点Q比较容易，反之已知点Q和点P求m却是相当困难的，这个问题称为椭圆曲线上点群的离散对数问题。椭圆曲线密码体制正是利用这个困难问题设计而来。椭圆曲线应用到密码学上最早是由Neal Koblitz 和Victor Miller在1985年分别独立提出的。
椭圆曲线密码体制是目前已知的公钥体制中，对每比特所提供加密强度最高的一种体制。解椭圆曲线上的离散对数问题的最好算法是Pollard rho方法，其时间复杂度为，是完全指数阶的。其中n为等式(2)中m的二进制表示的位数。当n=234, 约为2117，需要1.6x1023 MIPS 年的时间。而我们熟知的RSA所利用的是大整数分解的困难问题，目前对于一般情况下的因数分解的最好算法的时间复杂度是子指数阶的，当n=2048时，需要2x1020MIPS年的时间。也就是说当RSA的密钥使用2048位时，ECC的密钥使用234位所获得的安全强度还高出许多。它们之间的密钥长度却相差达9倍，当ECC的密钥更大时它们之间差距将更大。更ECC密钥短的优点是非常明显的，随加密强度的提高，密钥长度变化不大。
德国、日本、法国、美国、加拿大等国的很多密码学研究小组及一些公司实现了椭圆曲线密码体制，我国也有一些密码学者做了这方面的工作。许多标准化组织已经或正在制定关于椭圆曲线的标准，同时也有许多的厂商已经或正在开发基于椭圆曲线的产品。对于椭圆曲线密码的研究也是方兴未艾，从ASIACRYPTO’98上专门开辟了ECC的栏目可见一斑。
在椭圆曲线密码体制的标准化方面，IEEE、ANSI、ISO、IETF、ATM等都作了大量的工作，它们所开发的椭圆曲线标准的文档有：IEEE P1363 P1363a、ANSI X9.62 X9.63、 ISO/IEC14888等。
2003年5月12日中国颁布的无线局域网国家标准 GB15629.11 中，包含了全新的WAPI(WLAN Authentication and Privacy Infrastructure)安全机制，能为用户的WLAN系统提供全面的安全保护。这种安全机制由 WAI和WPI两部分组成，分别实现对用户身份的鉴别和对传输的数据加密。WAI采用公开密钥密码体制，利用证书来对WLAN系统中的用户和AP进行认证。证书里面包含有证书颁发者(ASU)的公钥和签名以及证书持有者的公钥和签名，这里的签名采用的就是椭圆曲线ECC算法。
加拿大Certicom公司是国际上最著名的ECC密码技术公司,已授权300多家企业使用ECC密码技术，包括Cisco 系统有限公司、摩托罗拉、Palm等企业。Microsoft将Certicom公司的VPN嵌入微软视窗移动2003系统中。
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随着区块链的大热，椭圆曲线算法也成了密码学的热门话题。在Bitcoin 生成地址 中使用到了椭圆曲线加密算法。
椭圆曲线的一般表现形式：
椭圆曲线其实不是椭圆形的，而是下面的图形：
Bitcoin使用了 secp256k1 这条特殊的椭圆曲线，公式是：
这个东西怎么加密的呢？
19世纪挪威青年 尼尔斯·阿贝尔 从普通的代数运算中，抽象出了加群（也叫阿贝尔群或交换群），使得在加群中，实数的算法和椭圆曲线的算法得到了统一。是什么意思呢？
我们在实数中，使用的加减乘除，同样可以用在椭圆曲线中！
对的，椭圆曲线也可以有加法、乘法运算。
数学中的群是一个集合，我们为它定义了一个二元运算，我们称之为“加法”，并用符号 + 表示。假定我们要操作的群用𝔾表示，要定义的 加法 必须遵循以下四个特性：
如果在增加第5个条件：
交换律：a + b = b + a
那么，称这个群为阿贝尔群。根据这个定义整数集是个阿贝尔群。
岔开一下话题， 伽罗瓦 与 阿贝尔 分别独立的提出了群论，他们并称为现代群论的创始人，可惜两位天才都是英年早逝。
如上文所说，我们可以基于椭圆曲线定义一个群。具体地说：
在椭圆曲线上有 不重合且不对称的 A 、B两点，两点与曲线相交于X点, X与 x轴 的对称点为R，R即为 A+B 的结果。这就是椭圆曲线的加法定义。
因为椭圆曲线方程存在 项，因此椭圆曲线必然关于x轴对称
曲线： ，
坐标：A=(2,5)，B=(3,7)
A、B正好在曲线上，因为坐标满足曲线公式
那如何找到相交的第三个点呢？
通过 A、B两点确定直线方程，
设直线方程： ，m为直线的斜率
进一步得到c=1。
联立方程：
X(-1,-1)的x坐标-1代入方式正好满足方程，所以A、B两点所在直线与曲线相交于 X(-1,-1)，则点X的关于x轴的对称点为R(-1,1)，即A(2,5)+B(3,5)=R(-1,1)。
根据椭圆曲线的 群律(GROUP LAW) 公式，我们可以方便的计算R点。
曲线方程：
当A=(x1,y1)，B=(x2,y2) ，R=A+B=(x3,y3)，x1≠x2时,
， m是斜率
x3=
y3=m(x1-x3)-y1
A=(2,5), B=(3,7) , R=(-1,1) 符合上面的公式。
椭圆曲线加法符合交换律么？
先计算(A+B)，在计算 A+B+C
先计算B+C， 在计算 B+C+A
看图像，计算结果相同，大家手动算下吧。
那 A + A 呢， 怎么计算呢？
当两点重合时候，无法画出 “过两点的直线”，在这种情况下，
过A点做椭圆曲线的切线，交于X点，X点关于 x轴 的对称点即为 2A ，这样的计算称为 “椭圆曲线上的二倍运算”。
下图即为椭圆曲线乘法运算：
我们将在 ECC椭圆曲线加密算法(二) 介绍有限域，椭圆曲线的离散对数问题，椭圆曲线加密就是应用了离散对数问题。
参考：
非对称加密需要两个密钥：公钥(publickey) 和私钥 (privatekey)。公钥和私钥是一对，如果用公钥对数据加密，那么只能用对应的私钥解密。如果用私钥对数据加密，只能用对应的公钥进行解密。因为加密和解密用的是不同的密钥，所以称为非对称加密。
非对称加密算法的保密性好，它消除了最终用户交换密钥的需要。但是加解密速度要远远慢于对称加密，在某些极端情况下，甚至能比对称加密慢上1000倍。
算法强度复杂、安全性依赖于算法与密钥但是由于其算法复杂，而使得加密解密速度没有对称加密解密的速度快。对称密码体制中只有一种密钥，并且是非公开的，如果要解密就得让对方知道密钥。所以保证其安全性就是保证密钥的安全，而非对称密钥体制有两种密钥，其中一个是公开的，这样就可以不需要像对称密码那样传输对方的密钥了。这样安全性就大了很多。
RSA、Elgamal、背包算法、Rabin、D-H、ECC (椭圆曲线加密算法)。使用最广泛的是 RSA 算法，Elgamal 是另一种常用的非对称加密算法。
收信者是唯一能够解开加密信息的人，因此收信者手里的必须是私钥。发信者手里的是公钥，其它人知道公钥没有关系，因为其它人发来的信息对收信者没有意义。
客户端需要将认证标识传送给服务器，此认证标识 (可能是一个随机数) 其它客户端可以知道，因此需要用私钥加密，客户端保存的是私钥。服务器端保存的是公钥，其它服务器知道公钥没有关系，因为客户端不需要登录其它服务器。
数字签名是为了表明信息没有受到伪造，确实是信息拥有者发出来的，附在信息原文的后面。就像手写的签名一样，具有不可抵赖性和简洁性。
简洁性：对信息原文做哈希运算，得到消息摘要，信息越短加密的耗时越少。
不可抵赖性：信息拥有者要保证签名的唯一性，必须是唯一能够加密消息摘要的人，因此必须用私钥加密 (就像字迹他人无法学会一样)，得到签名。如果用公钥，那每个人都可以伪造签名了。
问题起源：对1和3，发信者怎么知道从网上获取的公钥就是真的？没有遭受中间人攻击？
这样就需要第三方机构来保证公钥的合法性，这个第三方机构就是 CA (Certificate Authority)，证书中心。
CA 用自己的私钥对信息原文所有者发布的公钥和相关信息进行加密，得出的内容就是数字证书。
信息原文的所有者以后发布信息时，除了带上自己的签名，还带上数字证书，就可以保证信息不被篡改了。信息的接收者先用 CA给的公钥解出信息所有者的公钥，这样可以保证信息所有者的公钥是真正的公钥，然后就能通过该公钥证明数字签名是否真实了。
RSA 是目前最有影响力的公钥加密算法，该算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥，即公钥，而两个大素数组合成私钥。公钥是可发布的供任何人使用，私钥则为自己所有，供解密之用。
A 要把信息发给 B 为例，确定角色：A 为加密者，B 为解密者。首先由 B 随机确定一个 KEY，称之为私钥，将这个 KEY 始终保存在机器 B 中而不发出来；然后，由这个 KEY 计算出另一个 KEY，称之为公钥。这个公钥的特性是几乎不可能通过它自身计算出生成它的私钥。接下来通过网络把这个公钥传给 A，A 收到公钥后，利用公钥对信息加密，并把密文通过网络发送到 B，最后 B 利用已知的私钥，就能对密文进行解码了。以上就是 RSA 算法的工作流程。
由于进行的都是大数计算，使得 RSA 最快的情况也比 DES 慢上好几倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是 RSA 的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。RSA 的速度是对应同样安全级别的对称密码算法的1/1000左右。
比起 DES 和其它对称算法来说，RSA 要慢得多。实际上一般使用一种对称算法来加密信息，然后用 RSA 来加密比较短的公钥，然后将用 RSA 加密的公钥和用对称算法加密的消息发送给接收方。
这样一来对随机数的要求就更高了，尤其对产生对称密码的要求非常高，否则的话可以越过 RSA 来直接攻击对称密码。
和其它加密过程一样，对 RSA 来说分配公钥的过程是非常重要的。分配公钥的过程必须能够抵挡中间人攻击。假设 A 交给 B 一个公钥，并使 B 相信这是A 的公钥，并且 C 可以截下 A 和 B 之间的信息传递，那么 C 可以将自己的公钥传给 B，B 以为这是 A 的公钥。C 可以将所有 B 传递给 A 的消息截下来，将这个消息用自己的密钥解密，读这个消息，然后将这个消息再用 A 的公钥加密后传给 A。理论上 A 和 B 都不会发现 C 在偷听它们的消息，今天人们一般用数字认证来防止这样的攻击。
(1) 针对 RSA 最流行的攻击一般是基于大数因数分解。1999年，RSA-155 (512 bits) 被成功分解，花了五个月时间（约8000 MIPS 年）和224 CPU hours 在一台有3.2G 中央内存的 Cray C916计算机上完成。
RSA-158 表示如下：
2009年12月12日，编号为 RSA-768 (768 bits, 232 digits) 数也被成功分解。这一事件威胁了现通行的1024-bit 密钥的安全性，普遍认为用户应尽快升级到2048-bit 或以上。
RSA-768表示如下：
(2) 秀尔算法
量子计算里的秀尔算法能使穷举的效率大大的提高。由于 RSA 算法是基于大数分解 (无法抵抗穷举攻击)，因此在未来量子计算能对 RSA 算法构成较大的威胁。一个拥有 N 量子位的量子计算机，每次可进行2^N 次运算，理论上讲，密钥为1024位长的 RSA 算法，用一台512量子比特位的量子计算机在1秒内即可破解。
DSA (Digital Signature Algorithm) 是 Schnorr 和 ElGamal 签名算法的变种，被美国 NIST 作为 DSS (DigitalSignature Standard)。 DSA 是基于整数有限域离散对数难题的。
简单的说，这是一种更高级的验证方式，用作数字签名。不单单只有公钥、私钥，还有数字签名。私钥加密生成数字签名，公钥验证数据及签名，如果数据和签名不匹配则认为验证失败。数字签名的作用就是校验数据在传输过程中不被修改，数字签名，是单向加密的升级。
椭圆加密算法（ECC）是一种公钥加密算法，最初由 Koblitz 和 Miller 两人于1985年提出，其数学基础是利用椭圆曲线上的有理点构成 Abel 加法群上椭圆离散对数的计算困难性。公钥密码体制根据其所依据的难题一般分为三类：大整数分解问题类、离散对数问题类、椭圆曲线类。有时也把椭圆曲线类归为离散对数类。
ECC 的主要优势是在某些情况下它比其他的方法使用更小的密钥 (比如 RSA)，提供相当的或更高等级的安全。ECC 的另一个优势是可以定义群之间的双线性映射，基于 Weil 对或是 Tate 对；双线性映射已经在密码学中发现了大量的应用，例如基于身份的加密。不过一个缺点是加密和解密操作的实现比其他机制花费的时间长。
ECC 被广泛认为是在给定密钥长度的情况下，最强大的非对称算法，因此在对带宽要求十分紧的连接中会十分有用。
比特币钱包公钥的生成使用了椭圆曲线算法，通过椭圆曲线乘法可以从私钥计算得到公钥， 这是不可逆转的过程。
Java 中 Chipher、Signature、KeyPairGenerator、KeyAgreement、SecretKey 均不支持 ECC 算法。
DH，全称为"Diffie-Hellman"，它是一种确保共享 KEY 安全穿越不安全网络的方法，也就是常说的密钥一致协议。由公开密钥密码体制的奠基人 Diffie 和 Hellman 所提出的一种思想。简单的说就是允许两名用户在公开媒体上交换信息以生成"一致"的、可以共享的密钥。也就是由甲方产出一对密钥 (公钥、私钥)，乙方依照甲方公钥产生乙方密钥对 (公钥、私钥)。
以此为基线，作为数据传输保密基础，同时双方使用同一种对称加密算法构建本地密钥 (SecretKey) 对数据加密。这样，在互通了本地密钥 (SecretKey) 算法后，甲乙双方公开自己的公钥，使用对方的公钥和刚才产生的私钥加密数据，同时可以使用对方的公钥和自己的私钥对数据解密。不单单是甲乙双方两方，可以扩展为多方共享数据通讯，这样就完成了网络交互数据的安全通讯。
具体例子可以移步到这篇文章： 非对称密码之DH密钥交换算法
参考：
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3.序列号：每颗芯片制造生产时具有5字节全球唯一SN序列号，每颗芯片SN都不会重复。
4.防抄特性：每颗芯片都有自己独特的密钥系统，破解单颗芯片只对这颗芯片对应的产品有效，对整个同类型的产品是无效的，依旧无法通过验证。而且KEROS采用ASIC方法设计，芯片内为纯逻辑电路，封装内有40多层逻辑电路整合了10万多个逻辑门，爆力刨片破解难度可想而知。
5.安全存储：用户可以将保密数据加密之后安全的存放到EEPROM中。ecc加密算法入门介绍的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容。
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